고체물리학

우리가 사는 세상에는 여러 종류의 물질들이 있어요.
제가 즐겨 사용하는 주기율표 사이트에 따르면,

https://ptable.com/

세상의 물질들은 크게 보면 금속과 비금속으로 나눌 수 있다고 해요.
물론 그 사이 애매한 경계에 속하는 준금속들도 있긴 하지만요.

일반적인 생활에서, 금속이라고 불리는 물질들에 대한 전반적인 인상은
1. 전기 전도성이나 열 전도성이 높다
2. 금속성 광택을 띈다
3. 긴 케이블처럼 얇은 선 형태로 가공하거나, 판재처럼 얇은 판 형태로 가공할 수 있다.
4. 단단하거나 강할 것 같다
정도로 생각해 볼 수 있을 거에요.
실제로 대부분의 금속 원소들은 이러한 특징들을 보이고 있기도 하고요.
그렇다면 금속들이 공통적인 특징을 보이는 것에는,
금속이라는 분류에 속하는 원소들이 가지는 어떠한 공통적인 성질이 있지 않을까요?

일반적으로, 어떤 물질의 화학적 성질을 결정짓는 것은 전자에요.

중앙의 원자핵에 비해 전자의 궤도가 더 바깥에 있기 때문에,
다른 원자와의 상호작용을 할 때는 전자끼리 먼저 만나기 때문이에요.
그래서 물질의 성질을 알아보려면 전자에 대해서 알아보는 것이 중요해요.
금속이라는 분류에 속하는 물질에서의 전자는, 어느 원자에 붙잡혀 있지 않고 자유롭게 돌아다녀요.
이를 '자유 전자' 라고 해요.

공유 결합이나 이온 결합에서의 전자들은 각 원자에 구속되어 있는 반면,
금속 결합에서의 전자들은 '전자의 바다' 라고 부르기도 하는 것 처럼
여러 원자들 사이를 자유롭게 이동하며 결합을 유지해요.
이러한 특성 탓에, 누르거나 구부려도 금속 물질은 휘기만 할 뿐, 부러지지 않는 것이죠.
나무 젓가락과 금속 젓가락을 구부러뜨린다고 생각해보면 이해가 쉬워요.

그래서 드루드(Drude)는 금속 내부 전자의 자유로운 움직임을 기체 분자들의 이동과 관련지어 생각하게 되어요.
드루드는 볼츠만의 기체 분자 운동론을 금속 내부의 전자의 이동에도 적용할 수 있겠다고 생각했어요.
그 결과는 매우 성공적이였고, 금속 내부에서의 전자들의 움직임에 대한 첫 걸음이 되었어요.

드루드는 다음과 같은 3가지 가정을 하였어요.
1. 전자는 산란 시간 τ를 가진다.
(여기서 '산란' 이란, 전자가 원자핵에 충돌한다는 것을 의미해요)
아주 짧은 시간 간격 dt 동안 산란할 확률은 dt/τ 이다.
2. 전자가 산란하면, 전자의 운동량 p는 0이 된다.
3. 각 산란 사이에, -e의 전하량을 가진 전자는 외부에서 작용하는 전기장 E와 자기장 B에 영향을 받는다.
1번과 2번의 가정은 기체 분자 운동론에서 가져온 것이고,
3번은 기체 분자와 달리 전자는 전하를 띄고 있기 때문에 외부 전기장 및 자기장에 반응해야 한다는 사실을 고려한 것이에요.

시간 t에서 운동량 p를 가지는 전자가, dt의 시간이 지난 뒤에 가지는 운동량은 얼마일까요?
간단하게 생각해본다면 두 가지 경우가 있을 거에요.
산란하지 않고 가속되어 운동량이 증가한 경우, 산란하여 운동량이 0이 된 경우.
그렇다면 전자의 평균 운동량은 (산란 안 한 경우의 운동량) + (산란한 경우의 운동량) 으로 나타낼 수 있어요.
(단일 전자의 운동량이 아님에 주의해주세요!)

만약 dt가 매우 작은 값이라고 한다면, 이 식을 조금 더 간단하게 바꿀 수 있어요.
풀어서 다시 써보면 아래와 같이 되는데,

$$<p(t+dt>=p(t)-\frac{p}{\tau}dt+Fdt-\frac{1}{\tau}Fdt^2$$

여기서 우리가 알고 싶은 것은 운동량의 시간변화량이에요.
그래서 식을 조금 더 정리할게요.

$$p(t+dt)-p(t)=-\frac{p}{\tau}dt+Fdt-\frac{1}{\tau}Fdt^2$$

여기서 양변을 dt로 나누어주면 다음의 결과를 얻어요.

이때, dt는 매우 작은 값이기 때문에, dt가 포함된 항은 0으로 간주할 수 있어요.
그럼 최종적으로 다음의 식을 얻을 수 있어요.

운동량의 시간 미분은 힘이죠?
따라서, 전자에 작용하는 힘은 F와 -p/τ 가 있다는 것이에요.
여기서 F는 로런츠 힘(Lorentz Force) 이에요.

전자는 전하를 띄고 있으니까요.
-p/τ 는 산란항 이라고 부르는 부분이에요.
외부에서 어떤 힘을 가하지 않는다면, 전자는 지속적으로 충돌하면서 운동량을 잃어버리게 되겠죠.
이러한 부분을 설명하는 항이라고 보시면 되어요.
만약 외부에서 작용하는 힘이 없다면, 다음과 같은 식이 되는데

이러한 형태의 미분 방정식의 해는

지수적으로 감소하는 형태를 가지고 있기 때문에, 산란에 의해 운동량이 지수적으로 감소함을 예상해볼 수 있어요.

이제 위에서 살펴본 수송 방정식을 이용해서
전기 전도도와 '홀 효과' 를 살펴보도록 할게요.
특히, 홀 효과는 상당히 재미있는 물리적 현상이기 때문에,
단순히 수식으로만 유도하지 않고, 기본적인 물리 법칙을 통해서도 알아봐요.

이 식을 변형하기 위해 이미 알려진 다음의 공식들을 이용할게요.

이제 전자의 속도 v와 운동량 p를, 전류밀도 j에 대해 정리하여
옴의 법칙 형태로 변환하도록 할게요.

이러한 전기장 E와 전류밀도 j의 관계를 이용하여,

p와 v를 j에 대해서 정리할 수 있어요.
이제 이 결과를 바탕으로 전자의 운동 방정식에 대입하면

다음의 결과를 얻어요.
이 식만 보아서는 무슨 말인지 이해하기 어려울 수 있기 때문에 다음의 그림을 보면서 설명하도록 할게요.

어떤 금속 판에 대해서, z축 방향으로 자기장이 작용하고 있고, x축 방향으로 전류가 흐르고 있다고 할게요.
이때, 자기장 속을 움직이는 전하에는 로런츠 힘이 작용하게 될 것이에요.

위 그림은 + 전하를 띈 입자에 작용하는 힘의 방향이므로, - 전하를 띈 입자는 반대 방향으로 힘을 받게 되어요.
그 결과, 전자는 +y 방향에 쌓이게 되는 것이죠.

전자가 한쪽으로 쌓이게 되었으니, y축 방향으로 전기장이 생기기 시작해요.
이러한 전자의 치우침이 계속 발생하는 상황을 생각해 볼게요.
전자가 한쪽으로 계속 몰리게 되면, 같은 전하끼리 작용하는 반발력으로 인해 점점 쌓이는 속도가 느려져요.
이러한 상황이 지속되어서, 전자가 받는 로런츠 힘과 전하 반발력이 평형을 이루는 시점이 되면

이 식에서 앞의 두 항이 서로 상쇄되어 합이 0이 되어요.
또한, y축 방향으로는 전류가 흐르고 있지 않으므로 감쇠 항의 j도 0이에요.
전자가 받는 로런츠 힘과 반발력이 평형을 이루는 시점 = 정상 상태(Steady state) 라고 하고,
정상 상태에서는 $\frac{dp}{dt}=0$ 이라고 할 수 있어요.
그걸 반영하여 위의 식을 옴의 법칙 $E=\rho j$ 형태로 정리하면

$$E=\frac{1}{ne}j\times B+\frac{m}{ne^2\tau}j$$

이 되고, 이는 비저항 행렬을 이용하여 완전히 정리할 수 있어요.

$$E=\begin{equation} \begin{pmatrix} \frac{m}{ne^2\tau} & \frac{B}{ne} & 0 \\ -\frac{B}{ne} & \frac{m}{ne^2\tau} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{ne^2\tau} \\ \end{pmatrix} \end{equation}j$$

이 행렬의 대각 성분인 $\rho_{xx}=\rho_{yy}=\rho_{zz}=\frac{m}{ne^2\tau}=\frac{1}{\sigma}$ 는 옴의 법칙에서의 저항이며
$\rho_{xy}=-\rho_{yx}=\frac{B}{ne}$ 는 홀 저항에 해당해요.
홀 효과를 측정하기 위해 다음과 같은 회로를 구성할 수 있어요.

저는 예시를 전자로 들었기 때문에 위와 같은 형태의 전하 분포가 이루어져요.
만약 주요 전하 운반자가 전자가 아닌 정공이라면
(정공은 주로 +로 간주되므로) 전하 분포가 반대가 될 것이에요.
이를 통해 p형 혹은 n형 반도체에 대해 홀 효과 실험을 하면 해당 반도체가 무엇으로 도핑되었는지 알 수 있어요.
홀 효과가 등장한 김에 잠깐 간단하게 써보았는데요,
더 자세한 내용은 다음에 홀 효과만 가지고 간단하게 써보도록 할게요.

드루드는 전기적인 성질 말고도 열에 대한 성질까지 설명하려고 시도했어요.
실제로 열적 성질은 전기적 성질과 많은 것이 닮아 있어서 대응되는 개념들이 있죠.
온도 차이는 마치 전위 차이라고 볼 수 있고,
서로 다른 온도를 가지는 물질 사이 흐르는 열은 마치 전류처럼 생각해볼 수 있어요.
기체분자운동론에서 계산했던 바에 따르면,
열 전도도 $\kappa$는 다음의 수식으로 알아낼 수 있어요.

$$\kappa=\frac{1}{3}nc_v<v>\lambda$$

여기서 $c_v$는 입자당 열용량으로, 단원자 이상기체를 가정하면

$$c_v=\frac{3}{2}k_B$$

로 나타낼 수 있고,
단원자 이상기체에서의 평균 입자 속도 $<v>$는

$$<v>=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}}$$

로 나타낼 수 있으며,
입자간 평균 충돌 거리 $\lambda$는 평균 충돌시간$\tau$를 이용해서

$$\lambda=<v>\tau$$

의 관계로써 나타낼 수 있어요.
즉, 열전도도 $\kappa$에 대한 식을 다음과 같이 정리할 수 있어요.

$$\kappa=\frac{1}{3}nc_v\lambda=\frac{4}{\pi}\frac{n\tau k_B^2 T}{m}$$

여기서 이 관계식들이 단원자 이상기체가 아닌 전자에 대해서도 성립한다고 가정하면,
$\tau$는 전자의 산란시간, $<v>$는 전자의 평균 속도라고 생각해볼 수 있을 것이에요.
이제 전자를 기반으로 전기 전도도와 열 전도도를 둘 다 얻었으니, 이 둘의 비율을 식으로 나타내면

$$\frac{\kappa}{\sigma}=\frac{4}{\pi}\left(\frac{k_B}{e}\right)^{2}T$$

라는 결과를 얻을 수 있고, 이 결과를 온도 T로 나누게 되면

$$L=\frac{\kappa}{T\sigma}=\frac{4}{\pi}\left(\frac{k_B}{e}\right)^{2}$$

위와 같은 결과를 얻을 수 있어요.
여기서 L은 로렌츠 수(Lorenz number)에요.
식에서 볼 수 있듯, 금속에서의 전기 전도도와 열 전도도의 비율인 것이죠.
실제로 이를 계산하게 되면 $0.94\times 10^{-8} WattOhm/K^2$ 를 얻을 수 있고,
이렇게 예측된 값은 실제 실험 결과보다 2~3배 정도 작아요.
2~3배나 오차가 난다고 생각할 수 있지만, $10^{-8}$ 라는 수준까지 맞추었으니
굉장히 잘 맞아떨어진 결과라고 할 수 있어요.

그러나 실제로 위 계산 과정은 너무나도 크게 빗나간 것이라는 사실이 밝혀지게 되어요.
결과는 좋았을 지 모르겠지만, 과정에서 상당히 큰 문제가 있어요.
일단, 가장 큰 문제라면 역시 $c_v$ 값을 $\frac{3}{2}k_B$ 로 예측했다는 점이에요.
실제 금속에서의 전자당 비열은 저렇지 않거든요. 훨씬 작죠. 약 100배 정도요.
전자는 기체 입자보다 작고, 당연히 한번에 옮길 수 있는 열의 양도 더 작았어야 했어요.
그렇다면 여기서 드는 의문, 대체 뭘 어떻게 했길래 치명적인 오류가 존재함에도 불구하고 결과는 좋았을까요?
일단, 다른 부분에서도 문제가 있었거든요.
전자의 평균 운동에너지를 너무 작게 예측했어요.
전자의 개별 속도는 굉장히 빠르고, 기체와는 비할 바가 안 될 정도에요.
그래서 실제 전자의 운동에너지는 드루드 이론에서의 결과보다 100배나 더 높았던 것이에요.
그리고 이 둘이 합쳐지니, 100배 작은 값과 100배 큰 값이 서로 상쇄되었죠.
그래서 드루드 이론은 계산 과정에서 문제점이 있었음에도, 답은 정확하게 나왔던 것이에요.

이 글은 제가 스스로 공부하며 이해한 내용을 정리하기 위해 쓰여졌어요.
만약 이 글의 내용에 오류가 있다면, 저와 다른 사람을 위해 댓글로 지식을 나누어주세요!

제품 사용기

ARTMU LED 디스플레이 케이블

저는 개인적으로 전자제품을 구매할 때 디스플레이가 달려 있는 제품들을 매우 선호하는 편이에요.
그닥 쓸 데 없는 기능이라고 생각하실 수도 있지만, 디스플레이에 표시되는 정보들을 보고 있으면
그냥 멍 때리듯이 마음이 편해질 때가 있어요.

하지만 제품에 따라서는 정말로 유용하게 느껴질 때가 있는데,
그 중 하나가 바로 충전 케이블의 디스플레이에요.
요즘 전자제품들은 대부분 고속 충전을 지원하는데, 이 '고속 충전' 이라는 것이 종류가 많죠.
갤럭시의 경우 고속 충전, 초고속 충전, 초고속 충전 2.0 의 3종류가 있고, 충전 시 알려주죠.
하지만 아이폰이나 아이패드는 구별법이 있다고는 하지만 명확하게 알려주지 않아요.
그리고 '고속 충전' 이라는 것이, 배터리에 무리를 덜 주기 위해서
배터리 잔량이 적을 때는 빠르게 충전하고, 많을 때는 천천히 충전한단 말이에요?
그래서 저는 기기가 얼마나 빠르게 충전되고 있는지 알기가 쉽지 않아 답답했어요.
하지만 현재 충전 전력이 몇 W인지 알려주는 디스플레이가 있다면?
충전 정보를 별도의 앱 없이도 바로 볼 수 있어서 편리했어요.

택배로 받은 직후의 포장은 이렇게 생겼어요.
투명 비닐로 감싸져 있는 종이 박스에요.

포장을 뜯고 내용물을 꺼내면
반투명한 비닐에 담긴 채 들어있어요.

비닐에 감싸진 케이블을 꺼내면 이러한 모습이에요.
단자는 금 도금이 되어 있고, 투명한 플라스틱 보호 캡을 씌워놔서 오염되지 않게 해뒀더라구요.
금 도금이 실제로 얼마나 효과가 있을지는 모르겠지만, 단자의 부식을 막아주기도 하고
그만큼 케이블 퀄리티에 신경을 썼다는 뜻 같아서 좋았어요.
개인적으로 금색을 아주 좋아하기 때문에, 금 도금한 단자는 시각적 만족감을 줘서 좋아하는 편이기도 하구요.
아트뮤가 이런 쪽으로는 전문적인 회사이다보니, 확실히 중국 저가형 케이블과 비교하면 퀄리티 차이가 나네요.

개인적으로 이 케이블에서 신기했던 부분은 충전 시 W 뿐 아니라 A와 V도 알려준다는 점이였어요.
약 2~3초 간격으로 바뀌면서 각각의 정보를 표시해줘요.
지금까지 써 왔던 다른 케이블들은 전부 W만 표시했었거든요.

다른 LED 디스플레이 케이블들은 충전을 하지 않을 때에도 디스플레이에 불이 들어오며
디자인 또한 디스플레이가 어디에 위치해 있는지 바로 알 수 있는 디자인이에요.
하지만 아트뮤의 LED 디스플레이 케이블은 충전하지 않을 시 불이 꺼지며
무광 마감을 통해 고급스러운 마감을 보여줘요.

이건 Toocki 의 100W 충전 케이블이에요.
LED 인디케이터를 강조하고 있는 디자인이고, 전체적으로 유광 마감을 했죠.
시중에 판매되고 있는 대부분의 LED 디스플레이 케이블들은 대체로 저러한 마감이 되어 있어요.
두 케이블의 디자인이 다 장단점이 있다고 생각하지만,
아트뮤 케이블이 무광 마감 처리되어 있어서 덜 선명하고 광량도 낮은 점은 개인적으로는 불호였어요.
하지만 침대에서 쓴다면 오히려 좋을 수도 있겠네요. 침대에서는 저 파란색 불빛이 거슬렸거든요!

전반적으로는 케이블의 두께, 재질, 마감 품질 면에서 만족스러운 제품이였지만,
LED 인디케이터 표면이 무광 처리되어 있어서 광량이 약하고 선명도가 떨어지는 점이 단점으로 느껴졌어요.
전자기기의 충전이라는 가장 중요한 핵심 성능은 문제가 없었지만,
저가형 중국산 충전 케이블도 충전 자체에서 말썽을 일으키는 일은 적기 때문에 가성비 면에서는 아쉬운 분들도 분명 계실 것 같아요.
믿을 만한 성능과 AS(아트뮤 AS 잘해줘요!!), 고급스러운 마감의 프리미엄 제품을 원하시는 분들은
중국산 케이블에 비해 확실히 메리트를 느끼실 수 있지 않을까 해요.
개인적으로는 아트뮤라는 브랜드를 선호하고 있어서 다음에 케이블이 추가적으로 필요하다면 이 제품의 개선판을 기다리지 않을까 싶어요.

LabVIEW

저번에 첫 .vi 파일을 만들고, 프론트패널과 블록다이어그램 창을 띄워보았었죠.
이제 여기에 실제로 작동하는 코드를 넣어서 간단한 사칙연산 프로그램을 동작하게 만들어봐요.

현재 우리에게는 아무것도 없는 빈 프론트 패널이 있어요.
여기에 a, b 라는 이름의 어떠한 실수 2개를 입력받아서
a+b, a-b, a$\times$b, a$\div$b
총 4개의 계산 결과를 출력하려고 해요.

그러려면 먼저 수를 입력할 칸과, 계산 결과를 표시할 칸을 만들어줘야겠죠?
프론트패널의 아무 빈 공간에 마우스 오른쪽 클릭을 해 주면...

프론트패널에 넣을 수 있는 각종 요소들이 표시된 창이 나와요.
자주 마우스 오른쪽 클릭을 하는게 별로 맘에 들지 않으신다면, 창 좌측 상단에 있는 핀 모양의 아이콘을 클릭하면

이렇게 별개의 창으로 상시 띄울 수 있어요.
여기서 현재 필요한 것은,
'수를 입력할 칸' 과, '수를 출력할 칸' 이 필요하기 때문에
Modern -> Numeric -> Numeric Control (수 입력)

Modern -> Numeric -> Numeric Indicator (수 출력)

을 눌러서 적당한 위치에 배치해주도록 할게요.
꼭 저랑 똑같이 구성해주실 필요는 없지만, 입력 2개와 출력 4개가 필요하다는 것은 똑같아요.

요소들의 이름이나 크기도 변경 가능해요.
텍스트 부분을 클릭하면 이름을 바꿀 수 있다는 것은 대충 짐작하셨을 것이고,

마우스 커서를 올리면 크기도 바꿀 수 있어요.

이제 프론트패널을 구성했으니, 실제로 작동하게 해야겠죠?
그러기 위해서는 각 값들을 어떻게 처리해서 어디로 내보낼지 정해야 할 테니
이를 블록다이어그램에서 구성해볼게요.
이미 블록다이어그램 창이 열려있다면 상관 없고, 그렇지 않다면
Ctrl + E 를 눌러서 열어주세요. (Mac OS 의 경우 Command + E)

그럼 건들지도 않았는데 이미 6개의 요소가 생겨있어요.
하지만 아무도 놀라지 않으셨겠죠.
왜냐하면 저기 배치된 요소들의 이름들은 아까 프론트패널에서 배치한 요소들의 이름이니까요.
우리는 저기 배치된 요소들을 '적절히 잘' 이어주면 원하는 결과를 얻을 수 있을 거에요.
엥? 이어준다고요? 네! LabVIEW는 글씨로 코딩하는 것이 아니라 선을 그려서 코딩해요.

한번 다음의 예시를 보도록 할게요.

이렇게 이어주면, a에서 받은 입력이 그대로 + 에 출력된다는 뜻이에요.

보시는 바와 같이, a에 3을 입력했더니 + 에 3이 출력된 것을 보실 수 있어요.
이제 LabVIEW가 어떻게 작동하는지 바로 눈치채셨겠죠?
입력받은걸 적절히 잘 처리해서 출력으로 이어주면 되는 거에요.
이제 사칙연산을 처리하기 위해서 연산자를 가져오도록 할게요.
프론트패널과 마찬가지로, 블록다이어그램의 아무 빈 공간에나 마우스 오른쪽 클릭을 해 주시면,

이러한 창이 뜨게 되어요.
지금 필요한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은
Programming -> Numeric -> Add
Programming -> Numeric -> Subtract
Programming -> Numeric -> Multiply
Programming -> Numeric -> Divide

를 이용해서 해보도록 할게요.
아주 간단하게 구성했어요.

여기서 주의해야 할 점은, 뺄셈과 나눗셈의 경우 순서가 중요하죠?
2개의 입력단에 커서를 가져다 대면, 무엇이 먼저인지 알 수 있어요.
x가 첫 번째, y가 두 번째에요.

이제 정말로 수를 투입해서 옳은 결과를 내는지 볼까요?
a=3, b=4를 넣어서 그 결과를 한번 보죠.

프론트패널로 돌아와서, a와 b에 적절한 수를 넣어주고,
창 좌상단에 위치한 $\Rightarrow$를 눌러주면

예상한 결과와 동일하게 나오네요!
이게 기본적인 LabVIEW의 동작 방식이에요.

저의 경우, 필요로 하는 프로그램이 있다면
먼저 프론트패널을 구성한 뒤, 블록다이어그램을 만들어요.
아무래도 원하는 프로그램이 있다면 프론트패널을 상상하는 편이 블록다이어그램을 상상하는 것보다 쉽기도 하고,
입력과 출력을 미리 정하고 시작하는 것이다 보니,
처음과 끝을 아는 셈이라 실제로 구성하기 더 편하더라구요.

이 글은 제가 스스로 공부하며 이해한 내용을 정리하기 위해 쓰여졌어요.
만약 이 글의 내용에 오류가 있다면, 저와 다른 사람을 위해 댓글로 지식을 나누어주세요!

제가 블로그를 운영하는 목적은, 개인적으로 공부한 내용을 정리하기 위함이 가장 커요.
하지만 티스토리에서는 수식 입력기가 잘 동작하지 않아서 일일이 캡처 후 붙여넣기를 하고 있었어요.
하지만 이렇게 하면 글의 용량이 커지는 문제도 있고, 무엇보다 균일한 품질을 가지지 못한다는 점이 가장 마음에 걸렸어요.
특히, 저는 물리학 공부를 하고 있다 보니, 수식 입력은 저와 떼어놓을 수 없는 관계거든요.

이를 해결하기 위해서 여러 방법을 고민하던 도중, 다음의 글을 보게 되었어요.

https://ideaspread.tistory.com/8

정말 감사하게도, LaTeX를 티스토리에서 사용하는 법을 글로 써 주셔서
일일이 외부에 수식을 작성한 뒤, 불러오는 일이 없게 되었어요.

사소한 문제가 하나 생기긴 했는데,
제가 HTML이나 CSS에 대해서 아는 것이 없어서
어째서 이런 일이 발생하게 되었는지는 정말로 모르겠어요.
그리고 이게 정말로 사소한 문제인지, 다른 부분이 망가지는 것은 아닌지 염려가 되는군요.

이런 식으로 괄호가 있던 부분이 저렇게 강조 처리가 되어 버렸는데...
이 부분을 해결하고 싶어요.

(수정)

AI에게 도움을 청했더니 코드를 조금 수정해 주었는데요,

<head>
	<script type="text/x-mathjax-config">
        MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$']], displayMath: [['$$','$$'], ['\\[','\\]']]}});
    </script>
    <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/latest.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
    </script>

이 코드를 사용하니 위에서 언급한 문제가 고쳐졌어요.
이런 도움을 받을때마다 AI의 존재에 매우 감사하게 되네요.

LabVIEW

LabVIEW는 National Instruments(NI) 에서 개발한 그래픽 프로그래밍 언어에요.
실제로는 G언어라는 것으로 코딩이 되고, LabVIEW 자체는 프로그래밍 환경이라고 부르는 것 같아요.
이러한 그래픽 프로그래밍 환경은 프로그래밍을 모르는 초보자라도 쉽게 접근할 수 있게 해요.
마치 블럭 끼워맞추듯이 작동시킬 수 있으니까요.

LabVIEW는 주로 실험기기들의 제어에 쓰여요.
National Instruments 자체적으로도 여러 실험 기기들을 출시하는 회사이기도 해서 그런지, 이 분야에서는 뛰어난 모습을 보여줘요.
그런데 요즘은 LabVIEW 자체가 접근성이 그리 좋지 않고, 유료에, 복잡한 개발 환경을 만들기가 어려워서
Python 등의 다른 프로그래밍 언어를 이용해서 환경을 구축하는 경우가 더 많다고 하는 것 같아요.
이러한 흐름에 발맞추어 각종 기기 제조사들도 다른 언어에 대한 지원성을 늘린 것도 LabVIEW 의 입지 감소에 영향을 준 것 같아요.
아무리 LabVIEW의 입지가 줄어드는 추세라지만 제가 사용하는 계측 장비들은 대부분 LabVIEW를 지원하고 있기도 하고,
LabVIEW 자체로도 Python 등의 다른 언어를 지원하고 있어서 현 시점에서도 충분히 편리하게 사용할 수 있다고 생각해요.
개인적으로는 LabVIEW의 그래픽 개발 환경이 코딩 초보자인 저에게는 편하게 다가왔기 때문에,
비교적 쉽게 필요한 프로그램들을 빠르게 만들어낼 수 있었고, 다른 언어를 배울 때도 비슷한 개념을 이해할 수 있었어요.

인트로가 길었네요.
이제 본격적으로 시작해볼게요.

National Instruments 공식 홈페이지에서 다운로드

위에서 말씀드렸듯이, LabVIEW 자체는 유료이기는 해요.
그리고 그 가격 또한 매우 사악한 편에 속하는데,

보시다시피 가장 저렴한 라이센스 하나조차 수십만원에 달하거든요.
그래서 지금까지는 체험판을 다운로드해서, 이용 기간을 늘리는 꼼수를 사용하는 사람들이 많았어요.
방법 자체도 굉장히 간단해서, 설치 당시의 컴퓨터 시간을 기준으로 체험판 만료일자를 정해줬기 때문에
2030년으로 컴퓨터 시간을 맞추고 설치한 뒤, 다시 원래대로 돌리면 체험판 기간이 5년이나 남는 방식이에요.
이걸 NI 에서도 모를 리가 없었겠죠. 저도 인터넷 검색해서 3분만에 찾은 정보거든요.

NI 에서는 이에 대항하기 위한 방법으로, 아예 공식적으로 Community Edition이라는 것을 출시했어요.
무료가 아니라는 이유로 시장에서 가지고 있던 독보적인 입지를 잃어버린 과거의 경험 탓인지
어차피 꼼수를 쓰는 사람들만 있다면 차라리 무료로 푸는게 낫다고 판단했는지는 모르겠지만,
 Community Edition은 상업용으로 사용하지만 않는다면, 공식 홈페이지에서 무료로 쓸 수 있어요.

LabVIEW 공식 홈페이지 주소는 다음과 같아요.
https://www.ni.com/en/shop/labview.html

제가 올려드린 링크가 영 미심쩍다 싶으면, 구글에 LabVIEW 검색하시면 최상단에 떠요.
들어가시면 다음과 같은 창이 뜰 거에요.

빨간색 네모 친 부분을 눌러서 들어가주세요.
로그인을 요구할 수도 있는데, 그럼 회원가입을 진행해주시면 되어요.

이제 Community Edition 으로 체크하고, 다운로드 해주시면 되어요.
저는 실험실에서 Mac을 사용하고 있어서, Supported OS를 Mac OS로 변경해주어야 했어요.
혹시나 맥북 쓰시는 분들이시면 OS도 변경해주세요!

LabVIEW 실행

설치하면 여러 아이콘들이 생기게 되어요.
하지만 저는 고수가 아니기 때문에 단 하나만 필요해요.

Mac OS의 경우, 사진에서처럼 Launchpad 에서 찾아볼 수 있고
Windows의 경우, 빠른 실행에서 찾아볼 수 있어요. 설치할때 체크하셨다면요.
이제 저걸 눌러볼까요?

저는 학교에서 진행하는 LabVIEW 수업을 진행했기 때문에,
최근 파일 목록에 무언가 열려있어요.
아마 처음 켜신 분들은 아무것도 없을 거라서, 일단 Create Project 를 눌러주세요.

보시는 것 처럼, 어떤 형태의 파일을 만들 것이냐고 떠요.
저도 이 글을 쓰는 현 시점에서는 아직 저것들을 어디에 쓸 수 있는지 모르기도 하고,
초보자 입장에서는 당장 LabVIEW에서 뭔가를 만들어서 동작시키는 것이 가장 중요하다고 생각하기 때문에
Blank VI 를 눌러서 하나 만들어주도록 할게요.

그럼 2개의 창이 뜰 거에요.
Front Panel과, Block Diagram 이에요.
만약 둘 중에 하나만 보인다면 Ctrl+E 를 눌러서 나머지 하나를 띄워주세요.

Front Panel 은 실제 프로그램이 구동되며 사용자가 각종 수치를 입력하거나 결과물을 볼 수 있는 제어판 부분에 해당하고,
Block Diagram 은 실제로 내부적으로 어떤 동작을 할 것인지 만드는 회로 부분에 해당하는 느낌이에요.

다음 글 부터 본격적으로 .vi 파일에 실제 작동하는 프로그램을 구현해보도록 할게요!

이 글은 제가 스스로 공부하며 이해한 내용을 정리하기 위해 쓰여졌어요.
만약 이 글의 내용에 오류가 있다면, 저와 다른 사람을 위해 댓글로 지식을 나누어주세요!

고체물리학

아인슈타인은 고체 내부의 모든 원자가 동일한 진동수 ω를 가지고 있다고 생각하였지만
디바이(Debye)는 고체를 격자들이 연속적으로 이어진 탄성체로 가정하였고,
탄성체 내부에서 퍼져나가는 진동들의 합으로 비열을 계산할 수 있다고 보았어요.

직접 만드느라 그림이 좀 엉성하지만 양해해 주세요!
위 그림과 같은 구조를 생각해볼게요.
연속적으로 이루어진 이러한 격자의 일부를 건드린다면,
해당 진동은 격자 전체로 퍼져나가게 될 것이에요.
이러한 격자 진동들이 고체 내부에 매우 많이 존재하고 있고,
각 진동마다 서로 다른 에너지를 가지고 있어요.
파동의 에너지는 진동수에 따라 달라진다는 점을 생각해 본다면,
격자 진동의 진동수는 각자 다를 수 있겠죠.

여기서 격자 진동을 일종의 입자로 취급해볼 수 있어요.
결국 격자 진동도 고유의 에너지를 가지는(양자화된) 현상이므로
그 만큼의 에너지를 가지는 입자라고 보겠다는 관점인 것이죠.
이를 포논(Phonon)이라고 하고, 준입자(Quasiparticle)의 일종이에요.
준입자는 몇몇 입자 집단들을 마치 하나의 입자인 것 처럼 생각하여,
그들의 행동을 입자 하나의 움직임으로 설명하는 개념이에요.
포논에서는 격자 진동을 일으키는 원자들이 입자 집단의 역할을 하고 있어요.

고등학교 시절, 파동에 대해서 처음 배울 당시 보았던 식 하나가 있을 거에요.

바로 파동의 속력, 파동의 진동수와 파장과의 관계를 담은 식이죠.
v는 파동의 속력, f는 파동의 진동수, λ는 파장이에요.
이 식을 진동수에 대해서 정리한 뒤, 파장 λ 대신 파수 k 를 써서 나타내면

이제 이 식의 성분들을 모두 벡터로 변환하면

의 관계를 얻을 수 있어요.
ω는 각진동수, v는 파동의 속도, k는 파수벡터에요.
이 식은 시작부터 파동에 대한 식이였지만,
격자 진동이라는 파동 개념을 기반으로 한 준입자인 포논에도 적용할 수 있어요.

이를 포논의 분산 관계라고 해요.
포논의 각진동수 ω가 파수벡터 k에 의해 어떻게 변하는지를 나타내는 식이죠.
여기서 파수벡터 k는 어떠한 제한이 존재하게 되어요.
디바이의 이론에서, 고체 내부에는 일정한 격자가 무한히 반복되고 있다고 보기 때문에,
파동이 주기성을 가지게 되기 때문이에요.
파장의 길이가 L인 파동이 있다고 하면,
위치 x에서의 파동의 위상과, x+L에서의 파동의 위상은 같을 것이에요.
이를 식으로 표현해보도록 할게요.
임의의 주기적인 파동의 일반적인 해는 sin과 cos의 선형 결합으로 표현할 수 있어요.
둘다 주기함수이며, sin으로는 y를, cos으로는 x를 표현할 수 있으니까요.
따라서 sin과 cos을 동시에 포함하고 있는 오일러 공식을 이용해 파동을 표현할 수 있게 되는 것이죠.

이제 위에서 언급한 파동의 주기성을 고려하여 표현하면

이러한 관계를 얻게 되어요.
x에는 어떤 수를 넣어도 위 식이 성립해야 하므로,
편의상 x=0을 대입해보도록 할게요.

그러면 이러한 식을 얻고, 이걸 오일러 공식을 통해 다시 한번 살펴보자면

이러한 관계를 얻게 되는데, 여기서 실수 부분의 값은 1이고 허수 부분의 값은 0이여야 하므로

파수벡터 k는 위 관계를 만족하는 경우만 가능한 것이에요.
이때, n은 정수이므로 파수벡터 k는 불연속적인 값을 가지게 되어요.
따라서 포논의 각진동수 ω는 불연속적이므로
포논의 에너지 또한 불연속적일 것이라는 사실을 알 수 있죠.
연속적인 에너지 값을 가지는 것이 아니라, 특정한 에너지 값으로 양자화되어 있기 때문에
포논을 파동이 아닌 입자로써 간주할 수 있었던 것이 아닐까 하는 생각이 들어요.
그렇지만 고체에는 아주 많은 격자가 있죠.
격자 간격을 ℓ이라 한다면, L=100ℓ도 가능하지 않을까요? 1000ℓ은요?
1001개의 원자를 일렬로 나열한 1000ℓ마저 너무 작을지도 몰라요.
이런 상황에서 k의 가능한 값을 모두 더해야 한다면, 계산이 힘들겠죠.
그래서 L이 너무 큰 상황에서는 파수벡터 k가 불연속하다고 보는 것 보다는,
k의 간격이 매우 좁기 때문에 그냥 연속적으로 존재한다고 생각하고
적분 형태로 변환하는 것이 이후 계산을 간단하게 할 수 있다고 해요.

파수벡터 k는 2π/L의 간격을 가지고 있다는 것을 위에서 알아보았었죠.
리만 합을 이용하면 불연속적인 값을 다음과 같은 적분 형태로 바꿀 수 있어요.

이때, k 간격에 해당하는 ∆k는 2π/L이므로

이러한 관계가 성립하고, 2π/L을 우변으로 이항하면

이러한 관계식을 얻을 수 있어요.
이는 1차원에서의 결과이므로, 3차원에서의 결과로 확장해볼게요.
1차원에서는 k의 간격에 대해서 생각해보았지만,
이제는 이 간격을 반지름으로 하는 구를 생각해보죠.
또한, 적분도 3차원에 대해서 해야 하므로

이러한 관계로 확장할 수 있어요.

디바이도 아인슈타인과 마찬가지로 원자들끼리 스프링으로 결합되어 있다고 생각했기 때문에,
평균 에너지 <E> 에 대한 식의 기본적인 구조는 비슷해요.
그러나 아인슈타인과 다르게 포논의 각진동수 ωₖ가 일정하지 않다고 보았기 때문에
그 부분에 있어서 차이를 보이고 있죠.

이게 아인슈타인의 평균 에너지 <E> 식이고,
여기에 ω 대신 ωₖ를 넣은 것이

디바이의 평균 에너지 <E> 식이에요.
위에서 말했듯, 계산을 편하게 하기 위해 급수 표현을 적분 형태로 바꾸면

이러한 형태로 변환할 수 있는데,
3차원 적분을 쉽게 계산하기 위해 1차원 적분으로 변환할게요.

4πk²은 반지름 k인 구의 겉넓이라서 다음의 관계가 성립해요.
부피는 3차원이고, 넓이는 2차원이고, 남은 적분이 1차원이므로 이렇게 변환할 수 있는 것이죠.
그리고 k=ω/v 이므로, 이를 이용해 모든 k를 ω로 변환할게요.

이러한 적분 변수 과정에서 ωₖ도 ω로 변환되어요.

n이 원자 밀도라면, 총 원자수 N은 nL³=N으로 구할 수 있어요. L³이 부피니까요.
여기서 상태 밀도(Density of states)라는 개념이 등장해요.
상태 밀도는, ω로부터 dω만큼 떨어진 매우 작은 구간 내에 얼마나 많은 진동 모드가 존재하는가를 나타내는 함수에요.
간단하게 생각하면, 어떤 진동수 ω를 가지는 원자가 몇 개냐 라고 생각하시면 될 것 같아요.
물론 원자 1개당 가능한 진동의 방향은 3개니까, 정확히는 1/3개의 원자가 되겠군요.
(사실 이러한 설명이 정확하지 않다는 지적이 있기는 하지만, 현재 저로써는 이보다 더 나은 이해가 가능하지 않아요.)
(언제가 될 지는 모르겠지만, 제가 '모드' 에 대해서 더 이해하게 되면 비열 글 전체를 갈아엎도록 할게요!)
위 식을 상태함수 g(ω)를 도입하며 정리하면

이러한 형태가 되고, 따라서 상태함수 g(ω)는 다음과 같아요.

그리고 식을 정리하면 ω_d가 등장하는데, 이것이 바로 디바이 진동수에요.

일단 식을 정리하면 다음의 형태가 나오긴 하는데, 문제는 이게 왜 갑자기 튀어나오느냐?
뒤에서 다시 한번 더 짚고 넘어갈 것이지만,
지금까지 디바이가 수행한 계산에서는 한 가지 문제가 있었습니다.
바로, k가 무한한 수준까지 도달할 수 있다는 것입니다.
이것이 의미하는 물리적 의미는, '원자들보다 더 많은 진동 모드' 가 존재한다는 것입니다.
원자의 수는 유한한데, 무한한 수의 진동자가 존재할 수는 없겠죠.
따라서 디바이는 이를 해결하기 위해, 일정 진동수 이상은 고려하지 않기로 했어요.
이 진동수는 고체 안에 실제로 존재하는 진동자의 수 만큼만 고려할 수 있도록 정해져요.
고체 안의 원자 수 N개, 그리고 각 원자마다 3개의 방향으로 진동 가능하므로 총 3N이 되는 것이죠.
따라서 차단 진동수는 다음과 같이 정해져요.

 이제 이를 반영해 평균 에너지 <E>를 다시 써보도록 할게요.
이때, 영점 에너지 항(식 뒤의 1/2 부분)은 없어져요.
이 부분으로 인해 값이 무한하게 되었던 것인데,
이제는 최대 제한이 생겼기 때문에 의미가 없어졌기 때문이에요.

이렇게 차단 진동수를 정하는 목적은,
고온 영역에서 C=3R을 초과하여 무한으로 발산하지 않게 하기 위해서에요.
그렇다면 이것이 저온 영역에 영향을 줄 수 있지 않을까 하겠지만,

보스 점유인자는 저온에 가까워질수록 더욱 빠르게 0에 근접해요.
이는 차단 진동수가 고온 영역에서 진동자가 무한히 늘어나는 현상은 막아주며,
저온 영역에서 진동자의 수가 0보다 작아진다던지 하는 이상현상은 일으키지 않는다는 것을 의미해요.
이제 고온 영역에서 이러한 차단 진동수의 설정이 어떤 일을 일으키는지 확인해볼게요.
고온에서는 ℏω<<kT 이므로 ℏω/kT≈0 이라고 할 수 있죠.
exp함수의 지수 부분이 0에 가까우면 다음과 같은 테일러 전개가 가능해요.

여기서, x가 충분히 작기 때문에, 2차 이상의 고차항들은 전부 무시한다면

이렇게 근사할 수 있고, 이를 바탕으로 위의 보스 점유인자 식에 대입하면 이러한 결과를 얻어요.

따라서 고온 영역에서의 평균 에너지 <E>는 다음과 같이 주어지며

비열을 구하기 위해 T에 대해 다음 결과를 미분하면

뒬롱-프티(Dulong-Petit)의 법칙이 나오게 되어요.
이를 바탕으로 차단 진동수를 구해볼게요.

따라서 차단 진동수는 디바이 진동수와 일치하게 되어요.
즉, 디바이 진동수의 도입은 이러한 차단 진동수의 역할을 수행하기 위해서 이루어졌다고 볼 수 있어요.
그렇다면 저온에서는 어떻게 되는지 볼게요.

위에서 구했던 <E> 에 대한 식을, 상태함수 g(ω)를 이용해 나타내면 이렇게 정리할 수 있어요.
영점 에너지 부분은 미분 시에 사라질 것이므로 제거되었어요.
x=βℏω 라고 하면

이러한 관계를 얻을 수 있어요.
이 적분의 결과는 π⁴/15 라고 해요. 뒤에 적분하는 법이 있긴 한데, 아직은 잘 모르겠어요.
이를 반영하면

 평균에너지 <E> 는 이러한 결과를 얻을 수 있어요.
이제, 비열을 구하기 위해서 이를 미분하면

이렇게 T³ 에 비례하는 결과가 나오게 되어서 저온에서의 비열이 T³ 에 비례한다는 관계를 수식적으로 얻게 되어요.

이렇게 디바이의 이론은 저온과 고온에서의 비열을 잘 설명할 수 있었지만,
이번에는 중간 온도에서 문제가 생겼다고 해요..

이 글은 제가 스스로 공부하며 이해한 내용을 정리하기 위해 쓰여졌어요.
만약 이 글의 내용에 오류가 있다면, 저와 다른 사람을 위해 댓글로 지식을 나누어주세요!

고체물리학

저번 글에서 고체의 비열을 설명하기 위한 볼츠만(Boltzmann)의 접근 방법에 대해서 알아보았어요.
이번에는 아인슈타인(Einstein)의 접근 방법에 대해서 알아보도록 해요!

어떤 고체의 내부에는 아주 많은 원자가 들어 있겠죠.
그래서 아인슈타인은 통계역학적 방법을 통해 이 문제에 접근하였어요.
일단, 모든 원자가 동일한 진동수 ω의 퍼텐셜에 놓여 있다고 보는 것이에요.
그렇다는 것은, 원자들이 이렇게 배열되어 있다는 이야기가 되어요.

모든 원자들이 같은 진동수를 가지는 조화진동자라는 것이죠!
이는 볼츠만의 설명과도 같아요.
실제로는 저번에 설명한 바와 같이, 모두 3차원 조화진동자로 가정해야 할 것이지만,
먼저 1차원 조화진동자를 어떻게 계산하는지 알면 3차원은 쉽게 일반화 할 수 있겠죠.
1차원 조화진동자의 에너지 고유값은 다음의 식으로 표현할 수 있어요.

그리고 원자는 아주 많으니까 이러한 조화진동자도 똑같은 수 만큼 아주 많을 것이죠.
그렇다면 이러한 조화진동자들의 에너지를 전부 합치게 되면, 고체가 가지고 있는 에너지의 양을 알 수 있을 거에요.
그것을 알아내기 위해, 통계역학적 방법을 써 볼게요.

어떤 고체에 속하는 각각의 조화진동자들은 서로 다른 에너지를 가지고 있을 것이에요.
누군가는 조금 더 많은 에너지를 가지고 있을 수도 있고, 누군가는 조금 더 적은 에너지를 가지고 있을 수도 있죠.
그러나, 각각의 조화진동자가 가지는 에너지는 특정 값만이 가능해요.
위 식에서, 각각의 n마다 고유한 에너지 상태 Eₙ이 정해진다는 것을 알 수 있어요.
만약 n이 정수라면 어떨까요? Eₙ은 특정한 값 만을 가질 수 있으며, 불연속적으로 분포할 것이라는 사실을 알 수 있겠죠?
이러한 n을 이 진동자의 양자수라고 하고, 0 이상의 정수만이 가능해요.
그렇다면, 고체 전체에서 E₁의 에너지 상태를 가지는 조화진동자의 수와 E₂의 에너지 상태를 가지는 조화진동자의 수는 같을까요?
E₃ , E₄ , E₅ ... Eₖ 는 어떤가요? 모두 동일한 비율로 존재할까요?
그렇지 않겠죠?
만약 그렇다면, k가 무한에 가까운 수라고 할 때, 고체 전체의 에너지는 무한에 가까운 수가 될 테니까요.
고체 전체에서, 각각의 에너지 상태 E₁ , E₂ , E₃ ... Eₙ 이 가지는 확률 비중은

으로 구할 수 있어요. Eₙ이 증가함에 따라 값이 작아지는 형태에요.
높은 에너지 상태일수록 존재할 확률이 적어진다는 것이죠.
이는 낮은 에너지일 수록 안정하다는 일반적인 상식과도 부합하여요.
이것을 우리는 볼츠만 가중치라고 불러요.
이전 글에 나오셨던 볼츠만 이 맞아요! 통계역학의 시초이셔서 자주 등장하시죠.
이러한 볼츠만 가중치를 통해 각 에너지 상태가 존재할 확률을 구할 수 있어요.
특정 사건이 일어날 확률은 특정 사건이 일어나는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누어 구할 수 있었죠?
마찬가지로, 각각의 조화진동자가 특정 에너지 상태를 가질 확률은
특정 에너지 상태의 확률 비중을 모든 에너지 상태의 확률 비중의 합으로 나누어서 구할 수 있어요.

여기서 우변의 분모에 주목해주세요.
분모가 전체 에너지 상태의 확률의 합을 1로 만들어주는 역할을 하고 있죠?
이를 정규화라고 해요.
그리고 정규화를 해 주는 이 식을 '분배함수(partition function)' 라고 불러요.

분배함수를 이용하면 고체의 내부에너지(모든 조화진동자들의 에너지의 합)을 구할 수 있어요.
어떻게 구할 수 있을까요?
모든 조화진동자들이 가진 에너지의 합을 구하기 위해서는,
각 에너지 상태가 가진 에너지를 알아야겠죠? 이는 Eₙ으로 알 수 있어요.
그리고 이러한 에너지를 가진 조화진동자가 전체에서 얼마나 분포하는지도 알아야 할 것이에요. 이는 확률 pₙ으로 알 수 있어요.
그리고 이 둘을 곱하면 양자수 n에 해당하는 에너지가 얼마나 있는지 알 수 있겠죠?
이를 모든 n에 대해서 시행하여 모두 더하면 그것이 모든 조화진동자들이 가진 에너지의 합이라는 것이죠.

<E>는 간단하게 말하면 에너지의 평균값이라는 의미에요.
여기서는 '모든 조화진동자들의 평균 에너지 값' 이라고 생각하셔도 괜찮아요.
이 값은 분배함수를 통해 구할 수 있는데, 어떻게 분배함수 Z로 평균 에너지 <E>를 구할 수 있는지 알아볼게요.
먼저, <E>에 대한 식을 아래처럼 만들어볼게요.

그런데 이러한 형태는 분배함수에서 유도할 수 있어요.
분배함수 Z를 β로 편미분하면,

이러한 결과를 얻을 수 있어요.
위 식의 일부와 똑같이 생겼죠? 그러면..

이렇게 정리할 수 있어요. 따라서 분배함수 Z에 자연로그를 취한 뒤, 그 값을 β로 편미분하면
평균 에너지 <E>를 구할 수 있는 것이죠.

이제 1차원 조화진동자의 분배함수를 구하고, 이를 통해 고체의 평균 에너지를 구해보도록 할게요.

앞에서 언급한 1차원 조화진동자의 에너지 고유값 Eₙ의 식을 분배함수 Z에 넣어 얻은 결과에요.
이 식은 무한등비급수의 형태를 가지고 있어요.

이러한 무한등비급수의 합은 첫 번째 항 a와 공비 r을 통해 다음과 같은 공식으로 계산할 수 있어요.

여기서 쌍곡함수로 변환하면 더욱 간단한 형태를 얻을 수 있어요.

따라서 최종적으로 다음과 같은 결론을 얻게 되어요.

이제 분배함수 Z를 구했으니 평균 에너지 <E> 를 구해보도록 할게요.
일단 분배함수와 평균 에너지의 관계는 이렇다는 것을 알고 있죠.

이제 실제로 계산을 해 볼게요.
아무래도 문제가 되는 부분은 편미분 쪽이겠죠?

이러한 형태는 다음과 같이 계산할 수 있어요.

따라서 편미분을 계산하면,

이러한 식을 얻을 수 있어요.
이제 이 식을 이용해서 평균 에너지 <E>를 구하면

마지막으로 쌍곡함수를 다시 변환하면

이때, 보스 점유인자(Bose occupation factor) 라는 것이 있어요.

이를 이용해서 다시 한번 변환해주면 최종적으로 다음 식을 얻어요.

이렇게 얻어진 식의 물리적인 의미를 알아보도록 할게요.

이 글의 위에서 이러한 식을 보신 적이 있으실 거에요.
1차원 조화진동자의 에너지 고유값이에요.
방금 구해진 평균 에너지 <E> 와 비슷하죠?
그러니까 이 식은, n_B에 해당하는 조화진동자 하나의 에너지 값이라고 할 수 있는 거에요.
이러한 조화진동자가 고체 내부엔 원자 수 만큼 있는 것이죠.
우리는 조화진동자들의 평균 에너지 를 구했기 때문에,
모든 조화진동자의 에너지가 <E> 에 해당한다고 생각할 수 있어요.

이제  조화진동자들의 평균 에너지 <E>를 이용해 비열 C를 구해보도록 할게요.
비열은 '어떤 물질의 온도를 1도 올리는 데 필요한 에너지의 양' 이였죠?
그래서 에너지를 온도에 대해서 미분하면 비열을 구할 수 있어요.

이 식을 계산해보도록 할게요.
먼저, 우리가 구한 조화진동자당 평균 에너지 <E> 에는 T가 없죠.
하지만 이미 들어있어요.

β는 사실 T에 대한 식이였어요.

따라서 위와 같이 변환할 수 있는 것이죠. 이를 통해 <E>를 T에 대해서 미분해보죠.

상수 부분인 1/2는 미분 과정에서 어차피 제거될 것이므로 다음이 성립하고,
합성함수 미분에서의 연쇄 법칙(Chain rule)에 의해

비열 C에 대해서 다음 식을 얻을 수 있어요.
하지만 저번 글에서 보셨다시피, 원자는 x, y, z 의 3개 축으로 진동할 수 있었죠?
그래서 원자 1개당 조화진동자 3개가 있는 셈이에요.
그러니까 고체에서의 비열은 위에서 구한 값의 3배에요.

따라서 최종적으로 비열은 다음 식으로 구할 수 있게 되어요.

하지만 이 식은 뒬롱-프티(Dulong-Petit) 법칙인 $C=3R$ 이랑은 비슷하면서도 다르게 생겼죠.
이 식은 고온에서 $C=3k_B$ 에 도달하게 되어요.
$\beta=\frac{1}{k_B T}$임을 감안하면, T->$infty$에서 $\beta \hbar \omega$->0 이 됨을 알 수 있어요.
계산을 용이하게 하기 위해 $\beta \hbar \omega=x$라 할게요.
x가 0에 근접할 때, $e^x$는 테일러 전개를 통해 다음과 같이 근사할 수 있어요.

$$e^x\approx 1+x+\frac{e^x}{(e^x-1)^2}\approx 1+x$$

x가 매우 작기 때문에 2차 이상의 고차항 영향은 무시할 수 있다고 근사한 것이에요.
이제 이를 바탕으로 식을 다시 정리하면

$$C=3k_Bx^2\frac{1+x}{x^2}$$

분모와 분자의 $x^2$를 서로 약분하고, x->0을 대입하면

$$C=3k_B$$

고온에서의 뒬롱-프티 법칙 식이 나오는 것이죠!
R 대신 $k_B$가 등장한 이유는, 위 계산이 단일 원자에 한정해서 이루어진 것이기 때문이에요.

그렇다면 이 식은 어떻게 다이아몬드의 비열을 설명할 수 있었을까요?
아인슈타인 진동수 ω는 다음의 식으로 구할 수 있어요.

여기서 k는 스프링 상수(Spring constant)에요.
스프링의 길이 변화를 위해 얼마만큼의 힘을 가해야 하는지에 대한 비율이죠.
이 값이 높은 스프링은, 늘리거나 줄이려면 더 많은 힘이 필요해요.
우리는 원자 간 결합을 스프링으로 생각했기 때문에,
이 값이 높다는 것은 원자간 결합의 세기가 강하다는 것을 의미해요.
그리고 m은 원자 질량(mass)이에요.

다이아몬드의 경우, 상대적으로 가벼운 원자(탄소 C, 원자량 12)들로 구성되어 있지만,
매우 단단한 결합을 가지고 있어요.
그래서 ω 의 크기가 큰 것이죠.
대부분의 물질들에서 ω는 상온(약 300K)과 비교하면 충분히 작지만,
다이아몬드의 ω는 더 크기 때문에, C=3R이라는 Dulong-Petit 법칙과 거리가 멀었던 것이에요.
그래서 고온에서는 다이아몬드도 C=3R에 가까워져요.

그러나 이러한 아인슈타인의 계산에서도 문제가 발견되었어요.
고온에서의 비열과 다이아몬드 등의 여러 물질들이 C=3R을 만족하지 않는 이유를 잘 설명했지만,
저온에서는 실제 실험값과 분명한 편차가 존재했기 때문이에요.
대부분의 물질은 저온에서의 비열 C가 온도 T³에 비례하는데,
아인슈타인의 계산은 이를 설명하지 못했던 것이죠.

그래서 이를 잘 설명할 수 있는 방법을 디바이(Debye)가 알아내게 되었어요.
디바이의 방법에 대해서 다음 글에서 알아보도록 할게요.

이 글은 제가 스스로 공부하며 이해한 내용을 정리하기 위해 쓰여졌어요.
만약 이 글의 내용에 오류가 있다면, 저와 다른 사람을 위해 댓글로 지식을 나누어주세요!

고체물리학

정확히 언제 처음 배웠는지는 기억나지 않지만, 비열에 대해서는 꽤 어렸을 때 처음 배웠던 것 같아요.
아무래도 열이라는 개념을 일상생활에서 쉽게 접할 수 있기 때문에 비교적 빨리 등장한 것이 아닌가 해요.

라는 공식을 기억하실 거에요. 어떤 물질의 온도를 변화시키기 위해 필요한 열량 Q를 구하는 공식이였죠.
여기서 c가 바로 비열이에요. 그러니 c에 대해서 정리하면

다음과 같은 식을 얻을 수 있어요.
여기서 물체의 질량 m으로 나누어주는 이유는, 물체의 질량을 1로 만들어주어 '단위질량' 으로 만들기 위해서에요.
마찬가지로 온도 변화량 Δt로 나누어주는 이유도 '온도 변화량' 을 1도로 만들기 위해서라고 할 수 있죠.
따라서 '비열 C는 온도를 1도 올리기 위해 단위질량당 필요한 열량' 이라는 정의가 위 식으로 표현된 것이에요.

사실 비열이라는 것은 두 가지가 있어요. 정적 비열과 정압 비열이에요.
정적 비열 Cv는 부피가 일정할 때의 비열이고,
정압 비열 Cp는 압력이 일정할 때의 비열이에요.
기체의 경우에는 정압 비열이 정적 비열보다 더 크고, 실제로 유의미한 차이가 있어요.
기체는 열을 받으면 팽창하잖아요? 이렇게 팽창하는 기체는 주위를 밀어내며 힘을 가하겠죠.
힘을 가한다는 것은, 자신이 가진 에너지를 전달한다는 것을 의미해요. (일을 해준다고 하죠)
그렇다면, 팽창하지 않는 상태의 기체에 비해서, 팽창하는 기체는 외부에도 일을 해 주어야 해요.
따라서 같은 온도를 올리더라도, 팽창하는 기체는 팽창하지 않는 기체에 비해서 더 많은 열에너지가 필요해요.
그래서 정적 비열에 비해 정압 비열이 더 크고, 기체에서는 이를 구분해서 사용하게 되어요.

그러나 고체는 가열에 의한 팽창을 무시할 수 있을 정도로 기체에 비해서 작아요.

온도 변화에 따른 고체의 팽창한 부피는 위 식을 통해 알 수 있어요.
V₀는 팽창하기 전의 부피, ΔT는 온도 변화량이에요.
β는 고체의 부피팽창계수인데, 이 값이 너무나도 작아요.
대표적인 예시로, 고체 철의 경우 부피팽창계수가 36.9 x 10⁻⁶ /°C 에 불과해요.
따라서, 고체물리학에서 비열을 다룰 때는, 정적 비열과 정압 비열을 구분하지 않고 사용할 예정이에요.
(적어도 이 책에서는 그런 것 같아요!)

Dulong과 Petit는 많은 고체에서의 비열이 약 3R이라는 것을 실험적으로 발견하게 되었어요.
이를 Dulong-Petit 법칙이라고 해요.
그러나 이는 결과였을 뿐, 그 이유를 설명하지는 못했어요.
그래서 볼츠만(Boltzmann)은 이를 통계적으로 접근하여 설명했어요.

고체 내부의 원자 하나를 생각해 볼게요.
이 원자는 인접한 다른 원자들과 결합하고 있을 것이에요. 이때 결합을 스프링으로 표현해볼게요.

그림 중심의 원자(파란색)를 일종의 진동자(Oscillator)라고 볼 수 있겠죠?
이 원자는 총 3개의 축 방향으로 진동할 수 있기 때문에, 3차원 진동자라고 할 수 있어요.

(kB는 볼츠만 상수, T는 온도, NA는 아보가드로 수, R은 기체 상수에요!)
각 축에 대해서 진동자는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 가지므로 자유도가 2에요.
에너지 등분배 원리에 의해 1개의 자유도마다 0.5kBT의 에너지를 가지게 되어요.
따라서, 6개의 자유도를 가지는 이 고체 원자는 3kBT의 에너지를 가진 셈이에요.
이러한 원자 1몰은 총 3R의 에너지를 가지게 되겠죠.
따라서 많은 고체의 비열이 3R인 것이에요.

그러나 모든 고체에 대해서 설명할 수는 없었어요.
몇몇 물질에서는 들어맞지 않았거든요.
대표적으로 다이아몬드의 상온, 상압에서의 측정 결과, 비열이 0.735R 정도로, 3R에 비해서 한참 부족했어요.
(사실 고온 조건에서는 다이아몬드도 Dulong-Petit 법칙에 가까워진다고 해요!)

그래서 아인슈타인(Einstein)은 이를 보완할 방법을 제시하게 되어요.
다음 글에서 이어서 알아보도록 해요!

이 글은 제가 스스로 공부하며 이해한 내용을 정리하기 위해 쓰여졌어요.
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